Введение

Ранее на странице сайта "История..." схематично проанализирована электрическая сильноточная импульсная дуга , в которой учтена роль поляризации плазмы в энергетике дуги. Роль, которая обеспечивает механизмы отвода энергии из канала дуги в виде потенциальных, а не кинетических форм энергии. Попытка впервые обратить на это внимание была предпринята в 1976 г. в статье, направленной в журнал "Теплофизика высоких температур" (ТВТ). В статье были приведены экспериментальные данные о величине давления в сильноточном разряде и установлена эмпирическая зависимость, количественно их описывающая, а также предложено ее объяснение на основе учета плазменных поляризационных эффектов. Однако, последняя часть статьи, в которой предлагалось объяснение полученной зависимости, по решению редколлегии была исключена, и статья появилась в журнале ТВТ номер 5 за 1978 г. в урезанном виде. Текст статьи в виде графических файлов представлен на этом сайте.
Дальнейшие попытки, неоднократно предпринимаемые в течение 17 лет, обратить внимание на роль поляризации в разрядах также заканчивались отказом. Последние попытки были сделаны в 1992 - 1993 годах и были получены отказы в опубликовании работы от журналов ТВТ, ЖЭТФ и ЖТФ. Единственно, что удалось сделать в этом направлении, это в депонированной работе [1] от 1989 г. опубликовать выводы, вытекающие из учета процессов поляризации в электрическом разряде, без рассмотрения самих процессов, так как по решению редколлегии ТВТ этот раздел работы пришлось исключить. Однако в отредактированном варианте работы вклад процессов поляризации в энергобаланс разряда в [1] удалось учесть на основе допущения, учитывающего в наглядой форме этот вклад, что позволило обойтись не только без рассмотрения процессов поляризации, но даже без их упоминания.

На этой странице кратко описан путь, указавший на роль поляризации плазмы в разряде, и предложено обоснование эмпирической зависимости для давления в сильноточном разряде, основывающееся на учете поляризационных плазменных процессов.

При обработке экспериментальных данных по результатам измерения давления в кварцевой трубке, возникающего при пропускании через нее прямоугольного импульса тока, была в начале 1974 г. установлена эмпирическая зависимость (ЭЗ), которая была опубликована в пятом номере журнала ТВТ за 1978 г., стр. 915, стр. 916 и стр. 917. Согласно этой зависимости давление в трубке p, возникающее при пропускании через нее прямоугольного импульса тока, можно считать приблизительно (с точностью до множителя, по большей части не превышающим 2) пропорциональным произведению трех степенных функций, соответственно, от величины тока I, давления p_o, наполняющего трубку газа, и радиуса трубки R.

Здесь Π_o = 1·10^-2,     если p и p_o в Па, I в А, R в м     (система МКСА). Причем химический состав наполняющего газа на вид зависимости влиял слабо. Зависимость (1) выполнялась в условиях, когда разряд заполнял собой подавляющую часть сечения трубки и, кроме того, погонная масса газа в трубке не менялась во время прохождения импульса тока. Другими словами в разрядной трубке отсутствовало аксиальное перемещение газа при прохождении тока, что обеспечивалось соответствующей конструкцией трубки (ТВТ,1975, стр. 280).

B течение продолжительного времени указанная ЭЗ внимания не привлекала, пока использование ее при обработке опубликованных в литературе немногочисленных данных не указало, что область действия этой зависимости, повидимому, на порядки превышает размеры области параметров, на которых она была обнаружена. Последовавшие попытки найти ей объяснение привели к необходимости заняться анализом энергобаланса столба электрической дуги. Однако существовавшие на то время представления о путях потери энергии из столба дуги не позволяли объяснить найденную ЭЗ.

Упомянутые представления хорошо отражает каналовая модель дуги, которая была предложена Штеенбеком в 1932 году. Согласно этой модели столб дуги состоит их двух зон (рис.1): центральной токопроводящей плазменной зоны (залита красной краской), в которой реализуются наиболее высокие температуры, слабо изменяющиеся в пределах этой зоны, и окружающей её внешней зоны (залита зеленой краской), температура в которой плавно спадает к окружающим столб дуги стенкам. Внешняя зона из-за низких значений температуры уже не является токопроводящей средой, поэтому практически весь ток дуги протекает через центральную плазменную зону.

При приближенном математическом описании каналовой модели центральная зона рассматривается просто как однородный омический нагреватель. Во внешней непроводящей зоне потоки тепла между центральной зоной и стенками описываются привычными уравнениями теплопроводности, поскольку эти уравнения получены для описания бинарного взаимодействия частиц. А именно такое взаимодействие реализуется в объемах незаряженных частиц, то есть при не слишком высоких температурах. В плазменной же среде, в которой присутствуют заряженные частицы, бинарное взаимодействие частиц по мере возрастания степени ионизации плазмы заменяется на коллективное, для описания которого существующие уравнения теплопроводности не годятся. Именно поэтому каналовая модель Штеенбека в существовавшем на то время виде не подходила для объяснения ЭЗ. Не подходила потому, что для объяснения названной зависимости нужно понять, как потери энергии из центральной зоны связаны с внутренними коллективными процессами этой зоны.

Попытки понять это успеха не имели, пока летом 1976 года не была принята во внимание поляризация плазмы в центральной зоне разряда и связанные с нею эффекты. Плазменная среда - это среда, в которой есть заряженные частицы. А наличие заряженных частиц не всегда позволяет рассматривать частицы плазмы как изолированные. Коллективное взаимодействие частиц в плазме приводит к так называемым "поляризационным плазменным эффектам". Эти эффекты проявляются в том, что энергия всех частиц в плазме оказывается ниже энергии тех же частиц, но находящихся в нейтральной среде. Экспериментально измерить величину этих эффектов из-за их малости не удается, поэтому примерно с 1947 года (фактически через 15 лет после появления модели Штеенбека) начали разрабатываться методы расчета этих эффектов. Причем расчетные значения величин снижения энергии ионизации, полученные различными авторами, различаются почти на порядок [2].

Учет поляризационных эффектов позволил приближенно представить механизм потерь энергии из центрального канала дуги, который до этого времени рассматривался просто как однородный омический нагреватель.

Действительно, если энергия частиц в центральной зоне меньше, чем энергия частиц во внешней зоне, то для перемещения частицы из центральной зоны во внешнюю ей требуется сообщить энергию не меньшую, чем снижение энергии этой частицы в плазме. Если перемножить среднее значение величины снижения энергии частиц в центральной зоне на число частиц, удаляемых за счет процессов диффузии из центральной зоны в единицу времени, то получится величина мощности, затрачиваемая на удаление частиц за пределы центральной зоны. Это выражение условно названо на странице «История исследования» выражением для мощности поляризационных потерь кратко МПП.

Выражение МПП, вообще говоря, не очевидно. И на данном этапе не совсем ясно, как его строго обосновать. Поэтому основным аргументом в пользу справедливости этого выражения считаем то, что использование МПП при анализе энергобаланса дуги приводит к аналитическим зависимостям, которые согласуются с экспериментом.

Выражение для температуры однородной модели каналовой дуги.

Рассмотрим дугу, горящую в смеси различных газов s, плазменный канал которой состоит из электронов, атомов и ионов, соответственно, с концентрациями n_e^s, n_z^s, где z = 0, 1, 2, .... Давление смеси газов обозначим через p, величину тока дуги через I, а радиус токопроводящего канала дуги через R.

Будем анализировать не реальную дугу, а ее упрощенную модель, полагая, как и в классической модели Штеенбека, однородность токопроводящего канала дуги. В часто встречающихся случаях (большой ток дуги), когда радиус канала R разряда близок к радиусу R_w ограничивающей канал трубки, упрощенная модель приводит к разумным согласующимся с экспериментом результатам. Вывод зависимости температуры T упрощенной модели от тока, давления, радиуса канала и состава среды начнем, как обычно, из рассмотрения энергетического баланса модельного канала дуги.

Мощность электрического тока P, подводимая к каналу в расчете на единицу его длины, затрачивается в стационарном режиме на поляризационные потери (МПП) и потери на излучение W,:

Излучательные потери учтем формально путем введения множителя δ, считая, что

Величину мощности P, подводимую к каналу, запишем в следующем виде:

Перепишем уравнение энергобаланса (2) с учетом формул (3-4) в виде, удобном для проведения дальнейших преобразований:

Мощность поляризационных потерь Õ, затрачиваемую на удаление частиц из канала, получим, перемножив величину χ_j снижения энергии частиц j вида в канале на число частиц N_j^s этого же вида, удаляемых через границу канала в единицу времени, и просуммировав по всем сортам частиц  s

Полный поток частиц N_j^s  j-го вида через границу канала радиуса R запишем в виде

Величина удельного (через единичную площадку) потока ν_j^s частиц  j-го вида (j=e, 0, 1) записывается в виде произведения концентрации частиц n_j^s на величину их скорости  v_j^s

Здесь m_j^s - масса частиц. Массу атомов и ионов будем характеризовать их относительным атомным весом μ^s_j. Через относительный атомный вес масса атома (иона) связана с массой протона m_p^s соотношением

m_j^s=μ^s_jm_p .        (10)

Проблему расчета величины снижения энергии частиц в плазме рассматривали многие авторы, но [2] удовлетворительного решения ее не найдено. Здесь рассмотрим выражения, описывающие эффекты снижения частиц в плазме, которые основываются на термодинамических соображениях [3]. Из-за поляризации плазмы энергия заряженных частиц уменьшается по сравнению с энергией, соответсвующей изолированным частицам. Это уменьшение энергии ΔE_z заряженных частиц с зарядом z описывается в соответствии с теорией Дебая выражением

ΔE_z = - z²e²(8πε_o ρ_D)^-1,    где ρ_D - дебаевский радиус   (11)

ρ_D = [ε_okTe^-2(n_e + Σz²n_z^s)^-1] ^½.   (12)

Здесь n_e-концентрация электронов в плазме, n_z^s - концентрация ионов химического сорта s с зарядом z, e - заряд электрона, ε_o -диэлектрическая постоянная, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Величину ΔE_z для электрона обозначим для краткости через χ _e.

В связи с поляризацией плазмы уменьшается также энергия ионизации ΔE_z^s атомов и ионов на величину [3]

χ_z = - (z+1)e²(4πε_oρ _D)^-1.   (13)

Для отрицательных ионов (z = -1) эта поправка равна нулю. Для нейтральных атомов (z = 0) и однократно заряженных положительных ионов (z = +1) из (11) и (13) следует, что

χ_e= 1/2χ_o и χ₁= 2χ_o.      (14)

Поэтому далее будем оперировать только величиной χ_o. Для плазмы с однократно ионизованными частицами из (11) и (13) вытекает хорошо известная зависимость для снижения энергии ионизации нейтральных атомов [2]

χ_o = C_o(n_eT^-1) ^½, эв     (15)
Здесь C_o = 2,9·10^-8, если χ_o выражено в эв, n_e в см^-3, T в ºK.

Графики зависимостей (15) при различных температурах и концентрациях электронов представлены на рисунке из [2].

Дальнейшее рассмотрение нужно проводить раздельно для дуг, плазма канала которых полностью ионизована, и дуг с более низкой степенью ионизации. Но такое рассмотрение приводит к слишком большому размеру файла, поэтому, ограничивая себя разумным размером последнего, ограничимся анализом только первого случая.

 

Разряды, плазма канала которых полностью ионизована.

Из анализа формул (7-10) следует, что в полностью ионизованной плазме основной вклад в Õ дает электронная компонента. Поэтому выражение (6) упростим и, учитывая (14), запишем в виде:

Õ≈¼πRχ_o n_e(8kT/πm_e)^½.        (16)

Удельная электропроводность сильно ионизованной плазмы описывается формулой Спитцера:

σ=AT^3/2(zlnΛ)^-1 γ(z),  где γ(1)=0,582  γ(2)=0,683  γ(3)=0,785.     (17)

 

Здесь A=2,64·10^-2, если σ - ом·м^-1, z - средний заряд иона, lnΛ - кулоновский логарифм (Λ=1,25·10⁴·T^3/2(zn_e)^-½, где T - К, n_e - в см^-3.

Получим модельное выражение для температуры плазменного канала, для этого подставим в выражение для энергобаланса (5) выражения для МПП (16) и электропроводности плазмы (17). Выполнив алгебраические преобразования выражения, полученного в результате подстановок, придем к следующему выражению для температуры:

T = C₁(1 + δ)^-½n_e^-½χ_o^-½IR^-3/2,      (18)

где

C₁ = 2^¼π^-¾A^-¼(lnΛ)^½γ^-¼k^-¼m_e^¼.

В качестве первого шага выразим с помощью (18) давление в плазменном канале через внешние параметры разряда, то-есть ток, радиус канала и начальное давление в разрядной трубке.
Согласно закону Дальтона давление p в однородном плазменном канале, содержащем только ионы n_j^s, можно описать формулой

p= (n_e + Σn_z^s)kT.  Здесь суммирование по z и s.     (19)

Для дальнейших выкладок понадобится выражение для степени ионизации плазмы  η

η = n_e(Σn_z^s)^-1.      (20)

Теперь преобразуем выражение (18) следующим образом. Предположим, что выражение (15) для величины снижения энергии ионизации для нас подходит. Подставим его в зависимость (18) и после алгебраических преобразований получим следующую формулу для температуры

T = C₁^4/3C₀^2/3(1 + δ)^-2/3n_e^-1I^4/3R^-2.      (21)

Используя (20) и (21) преобразуем зависимость (19) к окончательному виду

p = kC₁^4/3C₀^2/3(1 + δ)^-2/3(1 + η)η^-1I^4/3R^-2.      (22)

Сравнение полученного выражения (22) с ЭЗ (1) позволяет сделать вывод, что напрямую выражеие (15) не подходит для описания поведения χ₀ в разряде. Оно слишком общее, поэтому его нужно преобразовать к виду, который бы характеризовал непосредственно процес выноса энергии из канала за счет поляризационных процессов. Для реализации этого введем безразмерную функцию τ

τ = χ_o(kT)^-1.      (23)

Эта функция имеет ясный физический смысл. Она показывает, какую долю составляет энергия χ_o, затрачиваемая на удаление частицы из плазменного объема, от кинетической энергии застицы в этом объеме. Очевидно, что ее можно заранее рассчитать для плазмы любого состава.

Кстати, выражение (23) в работе [1] было использовано в виде следующего допущения: любая частица, покидающая канал разряда или сталкивающаяся с окружающими канал стенками, уносит из канала или передает стенкам порцию энергии, пропорциональную kT.

Из (23) выразим χ_o через τ и T, подставим в (18) и после преобразований с учетом (20) прийдем к следующей формуле для температуры

T = C₁^2/3(1 + δ)^-1/3τ^-1/3η^-1/3(Σn_z^s)^-1/3I^2/3R^-1.      (24)

Подставляя (24) в формулу Дальтона (19) и учитывая выражение для степени ионизации (20) прийдем к следующей зависимости для давления

p = kC₁^2/3(1 + δ)^-1/3τ^-1/3(1 + η)η^-1/3(Σ(n_z^s))^2/3I^2/3R^-1.      (25)

Величина Σn_z^s представляет собой концентрацию тяжелых части в канале, которая при остывании плазмы до нормальной температуры T_N (293ºK) после прохождения через трубку импульса тока уменьшается в связи с рекомбинацией ионов и ассоциацией атомов в молекулы. Это происходит, если в заполнении трубки присутствуют многоатомные газы. Обозначим через q_s число атомов в молекуле компонента s. Давление смеси наполняющих трубку газов p_o окажется в соответствии с законом Дальтона равным

p_o=kT_N Σn_z^sq_s^-1.     (26)

Комбинируя выражения (25) и (26) и обозначая произведение всех постоянных и слабо изменяющихся величин через Π_p, получим следующее рабочее выражение для давления в разряде в тех случаях, когда величины q_s одинаковы у всех компонентов смеси. В этой ситуации будем обозначать число атомов в молекулах через   q.

p = Π_p(Ip_o)^2/3R^-1,    (27)

где

Π _p= Kq^2/3(zγ^-1)^1/3(lnΛ)^1/3τ^-1/3(1 + δ)^-1/3(1 +η)η^-1/3,   где    (28)

K = m_e^1/6k(kT_N)^-2/3[πA(2πk³)^1/2]^-1/3 = 2,43·10^-3   (в системе МКСА).

В качестве примера рассчитаем по формуле (28) массив значений величины Π _p для однородной модели разряда в водороде при различных сочетаниях значений начального давления наполняющего разрядную трубку газа (концентрации электронов) и температуры плазмы канала разряда. Это позволит оценить, как влияют на Π _p внешние параметры разряда.
Водород - двухатомный газ, поэтому q = 2. Относительный атомный вес атома водорода η равен единице. Величина δ учитывает излучательные потери в сильноточных разрядах. Для оценок допустим, что они равны МПП, то-есть δ = 1. Комбинация (1 + η)η^-1/3 практически постоянна в широкой области изменения η и численно равна двум. В полностью ионизованной плазме водорода η = 1.

Расчет проводим следующим образом. Сначала для выбранного давления наполняющего трубку водорода определяем величину концентрации электронов в однородном канале.Так как мы анализируем разряды с полностью ионизованной плазмой, то из p_o сразу вытекает значение n_e. Например, пусть начальное давление водорода в трубке p_o равно 1 тору (133 Па), при этом давлении концентрация молекул водорода равна 3,3·10¹⁶ см^-3. Очевидно, что при полной ионизации концентрация электронов составит 6,6·10¹⁶ см^-3.
После определения величины концентрации электронов находим по формуле (15) величину снижения энергии ионизации и, деля ее затем на величину температуры плазмы, находим согласно (23) значение τ.
Величину кулоновского логарифма вычисляем с помощью выражения при формуле (17). Подставив полученные значения в формулу (28), определяем значение Π _p. Результаты выполненных расчетов представлены в таблице. В этой таблице легко ориентироваться, если учесть, что

Π_p ~ τ^-1/3 ~ n_e^-1/6T^1/2 ~ p_o^-1/6T^1/2.   (29)

Модельные значения Πp·102 для однородного канала с водородной плазмой в зависимости от po и T.
po, тор	Температура плазмы канала T·10-3, K
	24	32	48	64	80
150	1,54	1,87	2,43	2,90	3,35
15	2,55	3,05	3,90	4,64	5,30
10	2,73	3,27	4,18	5,29	5,69
1	4,44	5,27	6,68	7,89	8,96

Зависимость (27) можно использовать для оценки давления в разряде. Из таблицы видно, что кратность изменения Π_p в каждой строке немного больше 2. Если в качестве усредненного значения для каждой строки принять сренегеометрическое значение из меньшего и большего значений Π_p в этой строке, то расчет давления со среднегеометрическим значением Π_p будет отличаться от фактического на множитель не больше 1,5.
Например, для p_o = 1 тор минимальное и максимальное значение Π_p в строке составляет 4,44^-2 и 8,96^-2. Среднегеометрическое из этих значений равно (3,48·10^-2 · 8,96·10^-2)^1/2 = 5,6·10^-2.

Среднегеометрическое значение Π_p можно рассчитать и на массиве строк, например от 1 тора, до 150 тор. Минимальное и максимальное значение Π_p на этом массиве, соответственно, равны 1,54·10^-2 и 8,96·10^-2. Среднегеометрическое будет равно 3,7·10^-2. Максимальное отклонение реального значения от среднегеометрического не превысит 2,4 раз.

Приведенные выше цифры получены для однородного канала. Но это идеализация, так как в реальном канале разряда плазма не однородна. Поэтому представляет интерес посмотреть, какие значения Π_p реализуются в реальных разрядах. Для этого, подставляя в выражение (27) опытные значения величин давления в канале p, тока I, давления наполняющего трубку газа p_o и радиуса трубки R, получим реальные значения Π_p для выбранного режима. Таблицы с указанными экспериментальными значениями Π_p из [1] приведены на странице сайта "Определение давления ......". Эти значения относятся к различным газам (водород, гелий, азот, кислород, воздух, аргон, криптон, ксенон,пары цезия, пары воды, пары текстолита), для которых можно было извлечь информацию о комбинации величин p, I, p_o и R. Из приведенных результатов видно, что реальные значения Π_p не выходят за пределы значений (таблица), полученных расчетным путем для однородного канала водородной плазмы. Это объясняется тем, что энергию из канала отводят в основном электроны, поэтому природа плазмообразующего вещества не играет существенной роли.
В работе [1] в качестве усредненного значения Π_p была предложена величина 6·10^-2. Это указано и в аннотации к этой работе, напечатанной в ТВТ.

Выражение (27) позволяет, в частности, обосновать эмпирическую зависимость (1), которая практически совпадает с модельной в первоначально обследованной области параметров разряда. Это видно, если переписать (1) в следующем виде:

p = Π_oI^4/5p_o^3/5R^-6/5 = Π(Ip_o)^2/3R ^- 1,  где  (30)

Π = Π_o I^2/15p_o^-1/15R^-1/5.    (31)

Прямым расчетом показано [1], что среднегеометрическое значение Π на обследованном маcсиве значений I, р_о, R близко к усредненному опытному значению Π_p.

В заключение хочу отметить, что значение выражения (1) состоит в том, что оно привело к пониманию роли поляризационных процессов в энергетике разрядов, роли, которая до 1976 г. не осознавалась.

Л и т е р а т у р а .

1. Пышнов А.В. К вопросу построения модели канала квазистационарной ограниченной стенками дуги. ВИНИТИ № 6899-В89, М., 1989 г., 35 с.
2. Методы исследования плазмы. Под ред. В. Лохте-Хольтгревена.- М.: "Мир", 1971.
3. Griem H.R.// Phys.Rev. 1962. V. 128. No. 3. P. 997-1006.

Октябрь 2011г., Москва.